SketchUp 曲面基础（二） SketchUp几何
1，SketchUp几何概述我国人教版七年级上册（也就是初一第一学期）的数学课本里就有“点线面体”的内容。基本概念是：点动成线，线动成面，面动成体。高一年级的数学课程里又有“点线面体”，名称一样、内容深度却跟初中不一样。高中微积分初步和大学的微积分里都有对“点线面体”的研究……点积分成线，线积分成面，面积分成体……大致如此。可见“点线面体”概念的重要性。 人类生活在三维的空间里（严格讲还有第四个维度，即时间维度，它代表着世间万事万物的千万种可能性，因与本书的关系不大，暂且放过不提。）因为是三维空间，所以就有了三个互不干扰的方向ｘｙｚ，我们可以用ｘｙｚ一组三个数字来讲清楚一个“点”在三维空间里的位置。几何学中的“点”不占用空间，只是个空间位置；点作为最简单的图形概念，通常是几何学、物理学、矢量图形和其他很多领域中最基本的组成部分。如果还有另外一组用ｘｙｚ表征的点，跟第一个点连起来就有了“线”；三组ｘｙｚ代表的点就能够得到一个面，这些是谁都知道的道理，同样也是SketchUp与许多其它软件底层核心算法的基础。 对于SketchUp用户，对于“点、线、面、体”的认识与运用，还有丰富得多的内容：
1.1 SketchUp里的“点 Point”与“顶点 Vertex ” 1）首先，在SketchUp里的“点”，并不象数学里描述的那样，只是个“0维”的空间概念。在SketchUp里，“点”不仅仅是个空间位置，它还有实实在在的可见性、可用性与不可或缺性，“点”可由SketchUp自动生成，也可以人为创建；譬如一条直线的两个“端点”和一个“中点”，两条直线相交后新产生的端点（顶点Vertex）与中点；一条曲线上的很多端点与中点。我们也可以人为创建“构造点（辅助点）”…… 2）其次，我们可以用方括号“[x,y,z]”的形式输入“绝对坐标”；或者用尖括号“<x,y,z>”形式输入“相对坐标”，它们都可以定义一个三维空间里的点；但我们很多SketchUp用户甚至都不知道还可以用这种办法输入坐标位置来建模，所以很多人从来就不用这种方法。 3）在SketchUp里建模，当光标移动到某些特定的位置时，会有明确的提示——当前是端点，中点……在建模时，时常要利用、甚至寻找这些点来作为新建几何体的起点或参照点。 4）SketchUp中，不同边线（Edge）的交点也可称为“Vertex 顶点”，它在创建模型的过程中有着举足轻重的作用，尤其对于曲面的编辑不可或缺。
1.2 SketchUp里的“线”“Edge 边线 ” 在几何学中，线是点运动的轨迹，又是面运动的起点，几何学中的线只具有位置和长度；而SketchUp里的线（边线 Edge）非但可见，还有很多不同的定义、属性和用途： 1）SketchUp里的直线，垂线、斜线、折线……每个线段都有两个端点与一个中点。 2）SketchUp里还有另外一种以虚线形式存在的直线，通常用来做参考线或辅助线。 3）直接来源于SketchUp原生工具的曲线只有圆，弧线和手绘线。 4）SketchUp可以用插件生成很多种普通与高阶的曲线，如仅Bezier Spline (贝兹曲线）一个插件就可以用来绘制“多段线”“B样条曲线”“F样条曲线”“螺旋线”“经典与高阶的贝兹曲线”……抛物线、双曲线、椭圆，波浪线、蛇形线等都可以在SketchUp里实现。 5）重要！ SketchUp里的所有曲线，无论看起来多么圆滑可爱无暇，其实都是“折线”也就是说SketchUp的所有曲线都是以很多小线段“拟合”而成的。这是非常重要的概念。 重要！ SketchUp里的所有曲线都可以用改变线段数量的办法调整其平滑度。确定足够又不过份多的线段数量在建模过程中至关重要，甚至涉及能否顺利完成模型。
1.3 SketchUp里的面（Face） SketchUp里的面（Face）大致可分成三类，几何形，修整形，与自然形：
1）几何形（或规则形）：是可以用数学方法描述与构成的类型，由直线或曲线，或直曲线相结合形成的面。如正方形、长方形、三角形、梯形、菱形、圆形、半圆形、椭圆形、五角形等，具有简洁明快的秩序感，被广泛地运用在建筑、实用器物等造型设计中。 2）修整形（也称不规则形）：是指人为创造的自由构成的，可随意地运用各种自由的、徒手的线条经过人为修整构成的面，具有人工造型特征和鲜明的个性。 3）自然形：是一种不可用数学方法描述与生成的自然形态，富有纯朴的视觉特征。如自然界的鹅卵石、树叶、瓜果外形，以及人体外形……等都是自然形；可以在SketchUp里用对照实物照片描绘轮廓的办法获取这一类面。 4）重要概念！SketchUp跟大多数“多边面”Polygon（Poly）建模工具一样，都是以“三边面”为底层内核算法的三维建模工具（各种软件在人机界面的表现可能不同）SketchUp模型里只有少数是真正的四边面，大多数（人工修改后的）四边面是由两个三边面拼合后隐藏掉对角线的“折面”，这个问题在后面的章节中还会多次重复提出讨论与研究。
1.4 SketchUp的曲面（Camber） 根据不同的分类标准，曲面有许多不同的分类方法，一并列出供参考，下一节还要讨论。 1）根据母线运动方式分类 l 回转面：由母线绕一轴线旋转而形成的曲面； l 非回转面：由母线根据其他约束条件运动而形成的曲面。 2）根据母线的形状分类 l 直纹曲面：凡是可以由直母线运动而成的曲面，如圆柱面、圆锥面、椭圆柱面、椭圆锥面、双曲抛物面、锥状面和柱状面等； l 双曲曲面：只能由曲母线运动而成的曲面，如球面、环面等。 l 同一个曲面可能由几种不同的运动形式形成，如圆柱面，即可以看做是直线绕着与之平行的轴线做旋转运动而成，也可以看做是一个圆沿轴向平移而形成的。 3）根据曲面能否展成平面分类 l 可展曲面：能展开成平面的曲面。如柱面、锥面； l 不可展曲面：不能展开成平面的曲面，如椭圆面、椭圆抛物面、曲线回转面。 l 一般只有直纹曲面才有可展曲面与不可展曲面之分，双曲曲面都是不可展曲面。
1.5 SketchUp里的“体”（Entity） 几何学中的“体”可以解释为“多个面围成的几何体”也可以解释为“占有一定空间的几何体”； 即：一个规则图形，通过旋转、平移等运动，形成的轨迹变成的三维图形称为“体”。而SketchUp里的“体 （Entity）”的形态还要更多一些，大概包括以下几类： 1）经典柱体：包括圆柱和棱柱。棱柱又可分为直棱柱和斜棱柱，按底面边数的多少又可分为三棱柱、四棱柱、N棱柱…… 2）经典锥体：包括圆锥体和棱锥体，棱锥分为三棱锥、四棱锥及N棱锥……
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